Trabalho em curso
(Agosto, 2003)
Após um periodo de três anos, desenvolvendo ferramentas, no âmbito da análise não-arquimediana e da geometria algébrica, para modelizar fluxos parametrizados pela escala, debruçamo-nos agora sobre o problema da validação computacional da seguinte tese:
1. O estado das estruturas coerentes que ocorrem em fluxos turbulentos deve poder ser modelizado pelas funções-L de certas curvas elípticas (a saber, as semi-estáveis, as quais, para além de serem modulares, são também isomorfas a toros analíticos rígidos).
2. A evolução destes estados, através das escalas e sob restrições adequadas, deve obedecer a um princípio de conservação de estrutura e, por consequência, deve ocorrer ao longo de um caminho univocamente bem definido numa variedade analítica rígida (a qual pode também, informalmente, ser visualizada como uma superfície elíptica univocamente bem definida, tendo as referidas curvas elípticas como fibras).
A validação computacional destas ideias implica que se proceda ao estudo numérico da iteração de certos polinómios, no ideal maximal de corpos p-ádicos arbitrários. Sendo nosso objectivo modelizar a turbulência que se observa em sistemas físicos (e, em particular, em plasmas de fusão, sob disrupção e em colapso), vemo-nos obviamente constrangidos a adoptar modelos topológicos para estes ideais p-ádicos no espaço euclideano mais conveniente. Neste sentido, quaisquer sugestões acerca de como desenvolver os códigos mais eficientes serão devidamente apreciadas (estamos a trabalhar com o sistema mathematica).
(Setembro, 2004)
Os códigos principais e necessários para a validação computacional da tese supra-referida foram concluídos durante este Verão, de 2004. A respectiva eficiência é razoável nalguns casos, mas algo limitada noutros:
1. Pelo que diz respeito a uma caracterização preliminar das curvas elípticas seleccionadas, estes códigos são baseados nos algoritmos publicados por J.E. Cremona (Algorithms for Modular Elliptic Curves, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, 1997), tendo a sua execução sido parcialmente contrastada com os correspondentes, respectivos resultados.
2. Pelo que diz respeito à dinâmica dos polinómios (elementos analíticos) que associamos com estas curvas elípticas, bem como pelo que diz respeito à obtenção das respectivas imagens de fase em modelos topológicos de anéis p-ádicos, os códigos, conquanto fiáveis, exibem limitações algo severas em termos de eficiência. O problema diz respeito ao tempo de execução: o microprocessador de 1 Ghz de que estamos dependentes impõe-nos uma relação de algumas horas de execução por cada conjunto de algumas centenas de órbitas estudadas.
Assim sendo, vamos prosseguir com sucessivas tentativas de optimização destes códigos, enquanto consideramos a possibilidade de adquirir um dos microprocessadores de 3,2 Ghz já disponíveis no mercado. Entretanto, não obstante as melhorias de eficiência que nos sejam possíveis, consideramos prioritário investir sobretudo na concepção estratégica e no planeamento das tarefas de processamento sistemático da informação contida na base de dados disponibilizada por J.E. Cremona ( http://www.maths.nott.ac.uk/personal/jec/ftp/data/INDEX.html ).
Objectivo: proceder à recolha de resultados tais que, no prazo de 1 ano, nos seja possível elaborar um primeiro relatório de progresso, no sentido da validação parcial da tese de existência que sustentamos (conjugação topológica, entre polinómios derivados de curvas elípticas semi-estáveis cujas formas modulares associadas (pela teoria de Eichler-Shimura) são próximas umas das outras).
As execuções já realizadas destinaram-se, sobretudo, ao teste da correcção dos códigos desenvolvidos; todavia, por acréscimo, permitem-nos relatar:
1. A observação ocasional de fluxos de estruturas coerentes, através dum número limitado de escalas, na imagem de fase definida pelos polinómios iterados (em modelos topológicos planares de dois anéis p-ádicos). Esta inferência é qualitativa: ampliando ou reduzindo a janela de observação sobre os modelos topológicos de tais imagens de fase, podemos observar ocasionalmente a eclosão, a permanência breve (auto-semelhança) e a dissipação de algumas estruturas, ou formas distintas geradas pela iteração dos polinómios.
2. A constatação duma certa correspondência entre proximidade, no espaço das formas modulares associadas às curvas elípticas, e semelhança, nas imagens de fase dos polinómios delas derivados por aplicação injectiva; esta correspondência parece depender duma adequada resolução da degenerescência associada com o número de curvas elípticas em cada classe de isogenia.
Estas observações são interessantes, e encorajadoras mas, obviamente, não são de modo nenhum conclusivas do que quer que seja. De facto, foram feitas com base numa reduzida amostra de curvas, com condutor inferior a 100, escolhidas de entre uma população disponível de curvas com condutor até 25000!
No futuro próximo, quaisquer sugestões sobre como prosseguir com a classificação de polinómios p-ádicos serão devidamente apreciadas! Actualmente, tanto a medida de Mahler como algumas ferramentas do âmbito da dinâmica simbólica parecem ser boas alternativas com que trabalhar...
(Novembro 2005)
Ao longo dos últimos meses, prosseguimos o estudo qualitativo das propriedades dinâmicas dos polinómios p-ádicos que associamos canonicamente a cada curva elíptica semi-estável. Em particular, observámos sistematicamente a evolução destes polinómios no anel dos inteiros 3-ádicos, à medida que os fomos deduzindo dos coeficientes de Weierstrass de cada, correspondente, curva elíptica com redução multiplicativa sobre p = 3.
Embora tenhamos adquirido, em Setembro passado, um novo microprocessador (3 Ghz), incorporado numa máquina mais eficaz (um jamais silencioso HP Pavillion zd8000), continuamos severamente limitados pelo tempo de execução dos programas que desenvolvemos. Por este motivo, e por outras razões de ordem prática, limitamos ainda o alcance das nossas simulações numéricas ao estudo das curvas elípticas com condutor inferior a 100. Trata-se de um conjunto de cerca de 300 curvas, mas que se reduz para cerca de 100 curvas, distribuidas por 25 classes de isogenia, quando seleccionamos apenas aquelas que apresentam redução semi-estável para p=3.
As primeiras dezenas de horas de computação sistemática revelaram-nos que, de entre estas cerca de 100 curvas seleccionadas, somente cerca de 56 permitem a dedução de polinómios 3-ádicos com dinâmicas não triviais (nos casos restantes, a origem é um ponto fixo cuja bacia de atracção parece abranger a totalidade do espaço de fase). Todas as órbitas são lançadas a partir duma condição inicial gerada aleatoriamente, após a qual, em regra, bastam 10 iterações para constatar a sua eventual trivialidade.
Depois, tomando como observável o tempo de escape por flutuação (com respeito a uma célula móvel no espaço de fase), construímos e codificámos simbolicamente a sucessão dos resultados da respectiva medição.
O procedimento adoptado segue de perto as propostas de M. Abel et al., «Exit-times and e-entropy for dynamical systems, stochastic processes and turbulence», in Physica D 147 (2000) 12-35, de M. Lehrman e A.B. Rechester, «Extracting Symbolic Cycles from Turbulent Fluctuation Data», in Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 16, 164501, e de S. Benkadda et al., «Exit Times and Chaotic Transport in Hamiltonian Systems», in Phys. Rev. Lett. 72 (1994) 18, 2859-2862
Adquirida esta sucessão simbólica, tomámo-la como suporte numérico para a determinação da entropia topológica de cada sistema dinâmico polinomial p-ádico. Entretanto, e em paralelo com este trabalho, desenvolvemos um algoritmo para o estudo e a quantificação do comportamento das funções L que são características das curvas elípticas associadas a estes sistemas dinâmicos. Os códigos desenvolvidos incluem ainda outros métodos de diagnóstico, como sejam, em particular, a detecção de correlações ao longo das órbitas e a avaliação local da função zeta para o produto de Rankin das formas modulares que a teoria de Eichler-Shimura faz corresponder a cada curva. Cf. A.W. Knapp, Elliptic Curves, Princeton Univ. Press, Princeton, 1992, e H. Hida, Elementary theory of L-functions and Eisenstein series, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1993.
Feitas estas opções, temos agora que o nosso objectivo principal se centra, ao menos temporariamente, no estudo da hipótese de existência duma correlação entre, por um lado, o valor da diferença entre valores de entropia topológica (dos sistemas dinâmicos polinomiais p-ádicos), e, por outro lado, o valor da diferença entre o comportamento de funções L (características das curvas elípticas das quais aqueles polinómios foram deduzidos).
Terminada a fase dos estudos numéricos correspondentes às primeiras observações qualitativas, passámos a estudar o comportamento dinâmico destes polinómios e as propriedades das curvas elípticas associadas. Para este efeito, dividimos o trabalho a fazer por etapas, associadas, cada uma delas, com um par (curva elíptica semi-estável , polinómio p-ádico associado) de referência, identificado com base na taxinomia publicada por J.E. Cremona (Algorithms for Modular Elliptic Curves, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, 1997).
As 56 curvas incluídas na amostra que definimos foram classificadas, em função do comportamento das respectivas funções L numa vizinhança do ponto crítico z = 1. Paralelamente, medimos a entropia topológica dos polinómios p-ádicos que lhes associámos. Esta medição é feita com base em órbitas geradas a partir de condições iniciais aleatórias, mas comuns aos 10 fluxos simulados em cada execução (incluindo o fluxo de referência).
Dispendidas que foram cerca de 500 horas de trabalho, em tempo de computador, estão completadas as etapas correspondentes às curvas de referência 15A1, 21A5, 33A2, 96A1 e 96B4, escolhidas arbitrariamente, uma por cada classe de isogenia. Estamos ainda longe de completar esta nova fase do trabalho, já que temos ainda 17 classes por cobrir; todavia, os resultados obtidos permitem-nos já afirmar que a coerência garantida numa classe de isogenia, pelo facto de que todas as curvas nela incluídas possuem a mesma função L, é uma coerência que se reflecte no comportamento dinâmico dos polinómios p-ádicos associados, conforme no-lo revela a medição da entropia topológica dos respectivos fluxos. Esta coerência é total, ou absoluta em 71% das classes observadas (cerca de 100 = 5 × 20). Se admitirmos que ainda há coerência quando apenas uma em cada cinco curvas, numa classe, se distingue das restantes pelo comportamento do polinómio associado, então, a percentagem de classes em que a coerência é confirmada, no plano da dinâmica polinomial, sobe para 76% (estes valores foram apurados sem levar em conta as classes de isogenia para as quais dispomos apenas de um único polinómio associado, e com dinâmica não trivial).
Estes primeiros resultados são robustos com respeito às variações de valor de alguns parâmetros cujo melhor ajuste ainda estamos a estudar (número de iterações, dimensão dos blocos simbólicos extraídos da sequência principal, etc.).
Retorno
à declaração de objectivo
(Pierre Roy,1931)